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磁場静解析で求解している微分方程式

H ：　磁界

B ：　磁束密度

J ：　電流密度

μ：　透磁率

 

 

磁場静解析（Gauss （ガウス） Femtetの磁場静解析、調和解析ソルバの名称静解析 時間的に変化のない解析。たとえば一定の力を加えた時の応力解析や直流電流による磁界解析など。）においては、与えられた電流密度Jと境界条件 力、温度、電圧など、ボディの境界(トポロジ)に与える条件を前提として、(1b)(2a)(3)式を満たす磁束密度B，磁界Hが求められます。

 

上記４式の内容は下記の通りです。

 

(1b)式　　：　アンペールの法則　（※）

(2a)式　　：　磁束保存の法則

 

(3)式　    ：　透磁率μの構成材料の中で成立する磁束密度Bと磁界Hの関係式

 

※

アンペールの法則の厳密な表現は下記(1a)となりますが、静解析すなわち定常解析 熱伝導解析などで、定常状態に到達して時間変化のない状態の解析。それ以前の、時間変化のある状態を過渡解析という。においてはdD/dt=0となるため、(1b)式が成立します。

 

B ：　磁束密度

μ：　透磁率

D ：　電束密度 電束の密度。電束は電気力線の束と考えられ、１[C]の電荷からは、1[C]の電束が放射される

J ：　電流密度

 

 

 

 

求解する支配方程式

 

実際にはGaussソルバ 解析の種類に応じて、電磁界や応力を計算するソフトは(1b)(2a)(3)式を直接解いているわけではありません。

 

下記(2b)式で定義される磁気ベクトルポテンシャル 磁気ベクトルポテンシャルは計算のために導入された量で、その回転が磁束密度になる。２次元／軸対称解析の場合、ｙ成分だけを持ち、その等高線は磁束線（磁力線）に相当する。Aに関する微分方程式に書き換えて求解を行っています。

 

B ：　磁束密度

A ：　磁気ベクトルポテンシャル

 

 

磁気ベクトルポテンシャルAを用いて磁束密度Bを表現することにより、磁束保存の法則(2a)は自動的に満たされます。

したがって、(1b)(3)式を磁気ベクトルポテンシャルAを用いて書き換えることによって得られる下記(4)式が求解の対象となる支配方程式になります。

 

A ：　磁気ベクトルポテンシャル

J ：　電流密度

μ：　透磁率

 

Gaussソルバは(4)式を解くことで磁気ベクトルポテンシャルAの空間分布を求め、得られたAから、(2b)式を用いて磁束密度Bの空間分布を求め、さらに(3)式に得られた磁束密度Bを代入することで磁界Hを求めています。

 

支配方程式である(4)式を与えられた境界条件の下で解きますが、主な境界条件の取扱いは下記の通りです。

 

磁気壁 電界がその境界に沿うような扱いになる境界条件。電磁場を解析するモデルの対称境界などに用いる。　　：　磁束密度Bは磁気壁に対して直交する。磁束密度Bと磁気壁法線ベクトルnは同方向もしくは逆方向。

電気壁 電界がその境界に対し垂直に向く扱いになる境界条件。電磁場を解析するモデルの対称境界や完全導体面などに用いる。　　：　磁束密度Bは電気壁と平行になる。磁束密度Bと電気壁法線ベクトルｎは直交（B・n=0）。

 

 

 

＜　補足①　＞

 

電流密度分布Jはユーザーに付与いただきますが、Jの空間分布を全て明示いただくわけではありません。

付与いただいた条件から、静電場解析とほぼ同様のアルゴリズムを用いてJの空間分布を決定し、それを(4)式の右辺として与えています。

 

 

＜　補足②　＞

 

(1b)式を考えると、∇・J＝0が「解が存在する必要条件」になっています。

しかしながらGaussソルバはヌルベクトル処理という数理処理を用いることで、∇・J≠0というJが与えられた場合でも、近似解を導きます。

 

∇・J＝0が成立する場合、すなわち解B，Hが存在する場合、Gaussソルバはその解を求めます。

 

 

＜　補足③　＞

 

構成材料の中に磁石が含まれる場合、磁石の中においては(3)式の代わりに下記(3')式が使用されます。

またその結果として、磁石の中の支配方程式としては(4)式の代わりに下記(4')式が使用されます。

 

μ0 ：　真空の透磁率

M　 ：　磁化