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大変形(幾何学的非線形)の解析

大変形オプション

大変形（幾何学的非線形）を考慮するために、２つのオプション設定があります。

①大変位オプション

回転の影響が無視できないときに使用します。

この機能のことを指して、大変形や大回転と呼ぶこともあります。

②大ひずみオプション

数%以上の大きなひずみが発生するときに使用します。

（注）大ひずみは特別オプション機能です。

これらのオプションを使用している場合、変形に応じて、荷重も更新されます。

例えば、圧力の方向は、変形後の面の法線になり、
トータル荷重やトルク荷重の各面、辺への分配は、変形後の面積、長さを使って行われます。

以下では、これらのオプションを使用する必要性と、その定式化について説明します。

大変形（幾何学的非線形）について

通常の応力解析（線形解析）は、初期の形状から大きく変化しないことを前提にして行列方程式を作成しているため、
初期の形状から大きく変化する場合、変形後の状態を考慮して計算しなければなりません。

このように、幾何学的な状態の変化を考慮して解析する方法を幾何学的非線形の解析と呼びます。
ここで言う非線形は、変位と荷重の関係が比例関係にないことを意味します。

ここでは、まず、変形の定義について説明します。
例えば、形状Ａから形状Ｂに移った場合の変形を分解すると、以下の３つのステップで変形がおきていると考えることができます。

①並進　A⇒B'

②ひずみ（伸び・縮み・せん断） B'⇒B''

③剛体回転 B''⇒B

ここでは、①の並進は除き、大変形（変形が大きいこと）を、②のひずみが大きい、③の剛体回転が大きい
の二つととらえて考えます。

大変位オプションが必要な場合

通常の応力解析（線形解析）の欠点は、②ひずみと③剛体回転を区別することができないことが挙げられます。

回転しただけでひずみが生じたり(Case.1)、明らかに長さが変わってひずみや応力が生じるはずなのに
ひずみがゼロのまま(Case.2)というような結果が生じます。

これは、変位からひずみを求める方法（微小ひずみ）が回転に対応していないために起こります。

具体的な現象としては、
・大きなたわみが発生したときの回り込み「例題６板バネの大変形」

・弦の張力効果

・座屈現象

等を考慮することができません。

このような状況のときに、大変位オプションを使用します。

※座屈現象は、収束しない可能性があります。「座屈解析」により座屈荷重と変形モードを解析することができます。

大ひずみオプションが必要な場合

大きな応力をかけて、元の長さLから長さlまで変形させた場合を考えます。
線形解析、大変位解析、大ひずみ解析それぞれで使用する以下の３つのひずみについて、長さ比 l/Lをプロットした結果を示します。

分類	式	用途	解説
微小ひずみ≒工学ひずみ、公称ひずみ		大変位、大ひずみなし	元の長さLを基準を基準とした長さの変化ペアとなる応力：公称応力
グリーン・ラグランジュひずみ		大変位で使用	元の長さLの2乗を基準とした長さの2乗の変化ペアとなる応力：第二ピオラ・キルヒホフ応力
真ひずみ（対数ひずみ）		大ひずみで使用	微小ひずみを変形中の基準長さの変化を考慮して積分した値ペアとなる応力：真応力

微小ひずみおよびグリーン・ラグランジュひずみでは、変形後の長さlがゼロとなるひずみが存在します。これはおおきな応力（ひずみ）を加えれば、
現実的にはありえない、長さをゼロになるという結果が生じることを意味しています。
また、長さがマイナスになることもあり得るため、解析中にメッシュが反転する可能性があります。
一方で、対数ひずみは、長さlをゼロに近づけると、－∞となり、長さがゼロになることはありません。

例えば、大ひずみを考慮して解析している「例題５４非弾性衝突の過渡解析」の問題を、大変位のみで解こうとすると、
体積がほぼゼロになってしまう要素が発生してしまい、計算が収束しません。

また、弾塑性材料の応力-ひずみ関係は、材料試験の結果を真応力と真ひずみに換算した値を使用して入力します（「弾性定数タブ」）。
このため、真ひずみ以外を使用した場合、ひずみが大きくなったときに、入力した材料定数どおりの挙動を示さなくなります。

グラフから、ひずみが大きくなるほど、真ひずみとの乖離が大きくなっていることが確認できます。

例として、半径50um、高さ50um（バンプ体積約3.4 x 105 μm3）のAuバンプ（弾塑性材料）
を高さ10umまで押しつぶした場合の軸対称解析を比較した結果を示します。

塑性変形の性質として、変形前と変形後では体積が変わらない変形であることが挙げられます。

今回のケースでは、変形が大きく、変形のほとんどは塑性変形になります。

解析が収束するかどうかと、体積の変化に着目して、

①大変位、大ひずみなし（微小ひずみ）

②大変位のみ（グリーン・ラグランジュひずみ）

③大変位・大ひずみ（真ひずみ）

の結果を比較します。

分類	式	解析後体積
大変位、大ひずみなし（微小ひずみ）		半径68μm 体積1.45 x 105 μm3
大変位のみ（グリーン・ラグランジュひずみ）	変位荷重45%で収束破綻	-
大変位・大ひずみチェック（真ひずみ）		半径103.5 μm 体積3.36 x 105 μm3