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応力解析の行列方程式
応力解析で解いている行列方程式について以下に簡潔にまとめます。
静解析(線形)
[K]は剛性行列であり、弾性定数はこの行列に反映されます。
{f]は荷重ベクトルであり、変位境界、荷重境界などはこのベクトルに反映されます。
{u}は変位ベクトルであり、この方程式の未知数です。
この行列方程式を解くことで、変位を求め、その変位からひずみ、応力を求めることができます。
静解析(非線形、複数ステップ)
一般的に、以下の３つのいづれかを含む場合を、非線形解析と呼びます。
③接触解析
Femtetの静解析では、上記３つのいづれかを含む解析を行う場合と、ステップ/熱荷重タブで複数ステップ/多段階熱荷重解析を選択している場合、
時間領域をステップ分割して、変位増分を逐次計算します。
増分解析では、以下の行列方程式を使用します。
[K]は接線剛性行列であり、弾性定数がこの行列に反映されます。
大変形を考慮する場合は、幾何学的非線形に起因する幾何剛性行列を加えた行列になります。
{f}は荷重ベクトルであり、変位境界、荷重境界などはこのベクトルに反映されます。
{Q}は内力ベクトルであり、前回のステップで計算されたひずみや応力がこのベクトルに反映されます。
{Δu}は変位ベクトル増分であり、この方程式の未知数です。
非線形解析では、接線剛性行列、荷重ベクトル、内力ベクトルが増分解析前後で一定ではないため、
1回の計算では変位ベクトル増分を求めることはできません。
実際には、上記行列方程式を複数回反復して、正しい変位ベクトル増分に近づけていきます。
この反復計算手法をニュートン・ラプソン法と呼びます。
詳細はテクニカル・ノート「ニュートン・ラプソン法と応力解析の収束判定」を参照してください。
共振解析
[K]は剛性行列であり、弾性定数はこの行列に反映されます。
[M]は質量行列であり、密度はこの行列に反映されます。
{u}は変位ベクトルであり、この方程式の未知数です。
ωは角周波数であり、これもこの方程式の未知数です。
この固有方程式を解くことで、固有値である周波数と、それに対応する固有ベクトルである
変位分布を知ることができます。
調和解析
[K]は剛性行列であり、弾性定数はこの行列に反映されます。
[M]は質量行列であり、密度はこの行列に反映されます。
{f]は荷重ベクトルであり、変位境界、荷重境界などはこのベクトルに反映されます。
ωは角周波数であり、調和解析ですので既知です。
{u}は変位ベクトルであり、この方程式の未知数です。
この行列方程式は変位と荷重がいずれも各周波数ωで振動しているという前提で
導かれています。
過渡解析
[K]は剛性行列であり、弾性定数はこの行列に反映されます。
[M]は質量行列であり、密度はこの行列に反映されます。
[C]は減衰行列であり、Femtetではレイリー減衰に基づいてα[M]＋β[K]で反映しています。
{a}は加速度ベクトル、{v}は速度ベクトル、{u}は変位ベクトルであり、いずれもこの行列方程式の未知数です。
{f}は荷重ベクトルであり、変位境界、荷重境界などはこのベクトルに反映されます。
過渡解析では上の運動方程式を直接時間積分法としてNewmark法を用いて変位増分が未知数となるように
式変形して時間ステップを刻んで解いています。
詳細はテクニカルノートの「応力過渡解析」を参照してください。
注：応力過渡解析は特別オプションです。
座屈解析
座屈解析を参照してください。